证明正114514面体不存在

在三维欧几里得空间中，正多面体（也称为柏拉图立体）是指所有面都是全等的正多边形、所有顶点性质相同（即每个顶点处的面数、边数相同）的凸多面体。根据经典的几何定理，只有五种正多面体存在：正四面体（4个面）、正六面体（立方体，6个面）、正八面体（8个面）、正十二面体（12个面）和正二十面体（20个面）。面数为114514的正多面体不存在，以下是详细证明。

证明步骤

正多面体的存在性受两个关键条件约束：欧拉公式和角度和条件。设正多面体的每个面为正 $p$ 边形（$p \geq 3$），每个顶点处有 $q$ 个面相交（$q \geq 3$）。记 $F$ 为面数，$E$ 为边数，$V$ 为顶点数。

1. 欧拉公式：
   对于凸多面体，欧拉公式为：
   $$ V - E + F = 2 $$

2. 边和顶点的关系：
   由于每条边被两个面共享，且被两个顶点共享，有：
   $$ pF = 2E \quad \text{(每个面有 } p \text{ 条边，每条边属于两个面)} $$
   $$ qV = 2E \quad \text{(每个顶点有 } q \text{ 条边相交，每条边连接两个顶点)} $$
   由上式可得：
   $$ E = \frac{pF}{2}, \quad V = \frac{2E}{q} = \frac{pF}{q} $$

3. 代入欧拉公式：
   将 $E$ 和 $V$ 代入欧拉公式：
   $$ \frac{pF}{q} - \frac{pF}{2} + F = 2 $$
   两边同乘 $2q$ 消分母：
   $$ 2pF - p q F + 2q F = 4q $$
   整理为：
   $$ F(2p + 2q - p q) = 4q $$
   因此：
   $$ F = \frac{4q}{2p + 2q - p q} $$

4. 角度和条件：
   在每个顶点处，$q$ 个正 $p$ 边形的内角之和必须小于 $360^\circ$。正 $p$ 边形的每个内角为 $\frac{(p-2)\pi}{p}$ 弧度，或 $\frac{(p-2) \times 180^\circ}{p}$。因此：
   $$ q \cdot \frac{(p-2) \times 180^\circ}{p} < 360^\circ $$
   简化：
   $$ q(p-2) < 2p \implies (p-2)(q-2) < 4 $$

5. 枚举可能解：
   根据 $(p-2)(q-2) < 4$，所有可能整数解为：

   • $(p, q) = (3, 3)$
   • $(p, q) = (3, 4)$
   • $(p, q) = (3, 5)$
   • $(p, q) = (4, 3)$
   • $(p, q) = (5, 3)$

6. 计算面数 $F$：
   对每个 $(p, q)$ 组合：

   • $(3, 3)$：$F = 4$（正四面体）
   • $(3, 4)$：$F = 8$（正八面体）
   • $(3, 5)$：$F = 20$（正二十面体）
   • $(4, 3)$：$F = 6$（立方体）
   • $(5, 3)$：$F = 12$（正十二面体）

7. 检验 $F = 114514$：
   114514 不在集合 ${4, 6, 8, 12, 20}$ 中，且无法通过任何整数 $(p, q)$ 组合生成，因此不存在。

结论

由于三维空间中正多面体的面数 $F$ 只能是 4、6、8、12 或 20，而 $114514 \notin {4, 6, 8, 12, 20}$，因此不存在面数为114514的正多面体。

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